设A为二阶矩阵,a1,a2,为线性无关的二维列向量,且Aa1=2a1,Aa2=2a1+a2,求矩阵A的特征值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/23 02:56:22
设A为二阶矩阵,a1,a2,为线性无关的二维列向量,且Aa1=2a1,Aa2=2a1+a2,求矩阵A的特征值
设A为二阶矩阵,a1,a2,为线性无关的二维列向量,且Aa1=2a1,Aa2=2a1+a2,求矩阵A的特征值
设A为二阶矩阵,a1,a2,为线性无关的二维列向量,且Aa1=2a1,Aa2=2a1+a2,求矩阵A的特征值
a1,a2线性无关,所以矩阵P=(a1,a2)可逆.
Aa1=2a1,Aa2=2a1+a2,所以AP=PB,B是矩阵
2 2
0 1
所以A与B相似,有相同的特征值,而B的特征值是2,1,所以A的特征值是2,1
----------
进一步可以求出,a1是对应于2的特征向量,2a1-a2是对应于1的特征向量
设A的特征值为λ,相应的特征向量是X,由特征值的定义,det(λE-A)=0,则可得AX=λX
由于Aa1=2a1,可知λ=2,且a1为相应的特征向量
由Aa2=2a1+a2,且a1和a2线性无观,考虑 A(a2+Ka1)=a2+Ka1,可知K=-2时能满足Aa2=2a1+a2
故a2-2a1也可以作为A的特征向量,且与a1线性无关。则λ=1也是A的特征值,其相应的特征向...
全部展开
设A的特征值为λ,相应的特征向量是X,由特征值的定义,det(λE-A)=0,则可得AX=λX
由于Aa1=2a1,可知λ=2,且a1为相应的特征向量
由Aa2=2a1+a2,且a1和a2线性无观,考虑 A(a2+Ka1)=a2+Ka1,可知K=-2时能满足Aa2=2a1+a2
故a2-2a1也可以作为A的特征向量,且与a1线性无关。则λ=1也是A的特征值,其相应的特征向量是a2-2a1。
综上,A的特征值为2和1
收起