已知:a>0,b>0,c>0,且不全相等,若abc=1,求证:求证:1/a + 1/b + 1/c > 根号a+根号b+根号c
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/23 01:44:41
已知:a>0,b>0,c>0,且不全相等,若abc=1,求证:求证:1/a + 1/b + 1/c > 根号a+根号b+根号c
已知:a>0,b>0,c>0,且不全相等,若abc=1,求证:
求证:1/a + 1/b + 1/c > 根号a+根号b+根号c
已知:a>0,b>0,c>0,且不全相等,若abc=1,求证:求证:1/a + 1/b + 1/c > 根号a+根号b+根号c
已知:a>0,b>0,c>0,且不全相等,abc=1,
所以有:
1/a + 1/b + 1/c
= bc + ca + ab
= (1/2)(ca+ab) + (1/2)(ab+bc) + (1/2)(bc+ca)
> √(a²bc) + √(ab²c) + √(abc²)
= √a + √b + √c
因为abc=1,所以ab=1/c,ac=1/b,bc=1/a
1/a + 1/b + 1/c
=bc+ac+ab
=(1/2)[(ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc)]
≥(1/2)[2a(根号bc)+2b(根号ac)+2c根号(ab)]
=a根号(1/a)+b根号(1/b)+c根号(1/c)
= 根号a+根号b+根号c
因为等号只...
全部展开
因为abc=1,所以ab=1/c,ac=1/b,bc=1/a
1/a + 1/b + 1/c
=bc+ac+ab
=(1/2)[(ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc)]
≥(1/2)[2a(根号bc)+2b(根号ac)+2c根号(ab)]
=a根号(1/a)+b根号(1/b)+c根号(1/c)
= 根号a+根号b+根号c
因为等号只有在ab=ac=bc时才成立
而a,b,c不全相等,所以不能取等号
所以1/a + 1/b + 1/c > 根号a+根号b+根号c
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