四棱锥P-ABCD底面为矩形PD垂直于底面ABCD,AD=AP=2,EF分别是CD,PB 的中点,求证EF垂直于面PAB
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/23 05:56:12
四棱锥P-ABCD底面为矩形PD垂直于底面ABCD,AD=AP=2,EF分别是CD,PB 的中点,求证EF垂直于面PAB
四棱锥P-ABCD底面为矩形PD垂直于底面ABCD,AD=AP=2,EF分别是CD,PB 的中点,求证EF垂直于面PAB
四棱锥P-ABCD底面为矩形PD垂直于底面ABCD,AD=AP=2,EF分别是CD,PB 的中点,求证EF垂直于面PAB
取AP中点G,连结GF、DG,
∵G、F分别是PA、PB中点,
∴GF∥且=1/2AB
又∵CD∥=1/2AB
∴GF∥且=CD,
∴四边形DEFG是平行四边形,
∴EF∥DG
∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥CD,
又∵AD⊥CD,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥DG
∴DG⊥GF;
∵DA=DP,
∴DG⊥AP(等腰三角形三线合一)
∴DG⊥平面PAB,
∴EF⊥平面PAB
过F作FG平行AB,交PA于G,连结DG
这样就构造出了一个 平行四边形EFDG
而由题给条件:PD垂直底面,AD=PD ,容易知道三角形PAD 是一个 等腰直角三角形
GD是这个三角行的中垂线,所以GD垂直PA 又因为EF平行GD
所以EF垂直PA
另一方面 容易证AB垂直平面PAD 而EF平行于平面PAD 所以EF垂直A...
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过F作FG平行AB,交PA于G,连结DG
这样就构造出了一个 平行四边形EFDG
而由题给条件:PD垂直底面,AD=PD ,容易知道三角形PAD 是一个 等腰直角三角形
GD是这个三角行的中垂线,所以GD垂直PA 又因为EF平行GD
所以EF垂直PA
另一方面 容易证AB垂直平面PAD 而EF平行于平面PAD 所以EF垂直AB
又因为 PA AB 在平面PAB内 且 PA与AB 异面
所以EF垂直平面PAB
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