对于命题P:存在一个常数M,使得不等式a/(2a+b)+b/(a+2b)≤M≤b/(2a+b)+a/(a+2b)对任意正数a,b恒成立. (1)试给出这个常数M的值. (2)在(1)所得结论的条件下证明命题P.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/23 15:33:01
对于命题P:存在一个常数M,使得不等式a/(2a+b)+b/(a+2b)≤M≤b/(2a+b)+a/(a+2b)对任意正数a,b恒成立. (1)试给出这个常数M的值. (2)在(1)所得结论的条件下证明命题P.
对于命题P:存在一个常数M,使得不等式a/(2a+b)+b/(a+2b)≤M≤b/(2a+b)+a/(a+2b)对任意正数a,b恒成立.
(1)试给出这个常数M的值.
(2)在(1)所得结论的条件下证明命题P.
对于命题P:存在一个常数M,使得不等式a/(2a+b)+b/(a+2b)≤M≤b/(2a+b)+a/(a+2b)对任意正数a,b恒成立. (1)试给出这个常数M的值. (2)在(1)所得结论的条件下证明命题P.
证明:(1)令a=b,则原不等式转化为:2/3≤M≤2/3
故M=2/3
(2)先证左边
(假设a/(2a+b)+b/(a+2b)≤2/3
则3a(a+2b)+3b(2a+b)≤2(2a+b)(a+2b)
即:3a^2+12ab+3b^2≤4a^2+10ab+4b^2
即:0≤a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
此式显然成立
括号里是在为证明找思路,可以不写在解答中,以下为证明过程)
因为(a-b)^2=a^2-2ab+b^2>=0
所以3a^2+12ab+3b^2≤4a^2+10ab+4b^2
所以3a(a+2b)+3b(2a+b)≤2(2a+b)(a+2b)
所以a/(2a+b)+b/(a+2b)≤2/3
(实际上就是上面括号里内容的逆推)
再证右边,方法和证左边的方法相同,即先假设结论正确来找思路,
再写出逆推过程即是证明过程
(假设2/3≤b/(2a+b)+a/(a+2b)
则2(2a+b)(a+2b)≤3b(a+2b)+3a(2a+b)
即:4a^2+10ab+4b^2≤6a^2+6ab+6b^2
即:0≤2a^2-4ab+2b^2=2(a-b)^2
此式显然正确
括号里是在为证明找思路,可以不写在解答中,以下为证明过程)
因为0≤2a^2-4ab+2b^2=2(a-b)^2
所以4a^2+10ab+4b^2≤6a^2+6ab+6b^2
所以2(2a+b)(a+2b)≤3b(a+2b)+3a(2a+b)
所以2/3≤b/(2a+b)+a/(a+2b)
综上所述,a/(2a+b)+b/(a+2b)≤2/3≤b/(2a+b)+a/(a+2b)
这是一种比较懒的证明方法,不用绞尽脑汁去思考不等式怎么变形,在有的时候是种挺好的证明方法,不会费很多时间