1.已知函数f(x)=x分之x²+2x+1/2,其中x∈〖1,正无穷),试求它的最小值 2.若函数h(x)=2x-k/x+k/3若函数h(x)=2x-k/x+k/3在(1,正无穷)上是增函数,则实数K的取值范围是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/23 22:41:06
1.已知函数f(x)=x分之x²+2x+1/2,其中x∈〖1,正无穷),试求它的最小值 2.若函数h(x)=2x-k/x+k/3若函数h(x)=2x-k/x+k/3在(1,正无穷)上是增函数,则实数K的取值范围是?
1.已知函数f(x)=x分之x²+2x+1/2,其中x∈〖1,正无穷),试求它的最小值 2.若函数h(x)=2x-k/x+k/3
若函数h(x)=2x-k/x+k/3在(1,正无穷)上是增函数,则实数K的取值范围是?
1.已知函数f(x)=x分之x²+2x+1/2,其中x∈〖1,正无穷),试求它的最小值 2.若函数h(x)=2x-k/x+k/3若函数h(x)=2x-k/x+k/3在(1,正无穷)上是增函数,则实数K的取值范围是?
可以将函数f(x)化为f(x)=(x+1/2x)+2,利用基本不等式,但要注意等号取得的条件是x=1/2x(此法不行);或者利用导数的单调性来求最值(可以).第二小问,由于有字母k,利用导数后应该加以讨论的.
f(x)=(x^2+2x+1/2)/x
=x+2+1/(2x) 利用均值不等式
>=2+2√(1/2)=2+√2
当且仅当x=√2/2时,取等号
但是x∈〖1,正无穷),所以当x=1时有最小值
即最小值为1+2+1/2=7/2
补充第二题的解答:
h(x)=2x-k/x+k/3
若k≥0,易知h(x...
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f(x)=(x^2+2x+1/2)/x
=x+2+1/(2x) 利用均值不等式
>=2+2√(1/2)=2+√2
当且仅当x=√2/2时,取等号
但是x∈〖1,正无穷),所以当x=1时有最小值
即最小值为1+2+1/2=7/2
补充第二题的解答:
h(x)=2x-k/x+k/3
若k≥0,易知h(x)在R单调增,符合题意
若k<0,设x2,x1∈(1,+∞),且x2>x1,
此时h(x2)-h(x1)=2(x2-x1)+k(x2-x1)/x1x2=(x2-x1)(2+k/x1x2)
要满足h(x)为增函数,只需h(x2)-h(x1)>0
而x2-x1>0恒成立
∴2+k/x1x2>0,即
k>-2x1x2≥-2
综上,k∈[-2,+∞)
当然,如果学过导数,就更方便
h'(x)=2+k/x^2>0(x>1),
∴h'(1)=2+k≥0,
k≥-2
收起
7/2